In questa sezione sono spiegati alcuni concetti base della elettrotecnica ed in particolar modo due prinćpi che ci permettono di risolvere qualunque rete elettrica comunque sia fatta.
Il primo principio di Kirchoff si riferisce ai nodi della rete ed è
del tutto intuitivo, esso esprime il fatto che i movimenti degli elettroni
che costituiscono le correnti elettriche soddisfano alla cosiddetta condizione
di continuità, vale a dire che in ogni elemento di volume del conduttore
interessato entrano da una parte tanti elettroni quanti ne escono contemporaneamente
da unaltra parte.
Ciò significa che per ciascun nodo la somma delle correnti in esso
entranti è sempre eguale alla somma delle correnti da esso uscenti.
Se si considerano positive le correnti che sono dirette verso il nodo
e negative tutte quelle che si allontanano, si può dire che la
somma algebrica di queste correnti è nulla.
Più in generale lo stesso principio vale non solo per i nodi veri
e propri del tipo rappresentato ad esempio in fig. 1.a) ma anche per qualunque
insieme di correnti comunque connesse con un sistema elettrico racchiuso
entro una superficie chiusa qualsiasi, reale o immaginaria, del tipo schematizzato
ad esempio in fig. 1.b). Nei riguardi delle correnti relative alle connessioni
con lesterno, tale superficie chiusa può essere quindi considerata
come un unico nodo gigante, qualunque sia la complessità
dei circuiti interni. Per entrambi i tipi di nodi rappresentati in fig.
1 si ha quindi la relazione I1+I2+I3+I4+I5 =0
Il primo principio di Kirchhoff viene anche designato col nome di principio
di Kirchhoff per le correnti, brevemente indicato con la sigla PKC. Come
vedete non è nulla di particolarmente complicato, tutto sommato
è un concetto abbastanza intuitivo, soprattutto alla luce delle
considerazioni sui flussi di lavoro elettrico che abbiamo fatto altre
volte.
Detto questo passiamo a considerare il secondo principio di Kirchhoff,
esso riguarda le maglie di una rete e afferma che la somma algebrica di
tutte le tensioni, ordinatamente misurate fra i nodi che si incontrano
percorrendo i lati di una maglia chiusa qualunque, fino a tornare al nodo
di partenza, è sempre eguale a zero: con riferimento alla maglia
rappresentata in fig. 2, si ha infatti lidentità seguente:
VaB + VBC + VCD + VDa = 0
Si può osservare che il risultato è indipendente dalla scelta
del verso positivo, perché se si vuol considerare come positivo
il verso (aDCBa) si perviene allo stesso risultato solo che la relazione
avrà i segni cambiati, cioè moltiplicata per -1.
Un risultato analogo si ottiene per una maglia qualunque se al posto della
tensione consideriamo la corrente e la resistenza, legate fra loro dalla
relazione V=RI, in questo caso il secondo principio di Kirchoff sarà
espresso in funzione delle correnti e non più delle tensioni. In
modo più generale possiamo allora formulare la seguente legge:
In una rete di circuiti comunque complessa, la somma algebrica delle f. e. m. che si incontrano percorrendo una maglia chiusa qualunque, è eguale alla somma algebrica delle cadute ohmiche di tensione relative ai lati consecutivi della stessa maglia.
Questo enunciato comprende come caso particolare anche la legge di Ohm
(cioè la V=RI )per un solo circuito chiuso con uno o più
generatori, nel qual caso si ha semplicemente ununica maglia senza
alcun nodo e perciò una sola corrente. I due principi di Kirchhoff,
espressi entrambi in funzione delle correnti, trovano diretta applicazione
nella determinazione delle correnti nei singoli lati di una rete qualunque,
note le rispettive resistenze elettriche e le forze elettromotrici che
vi sono inserite.
Per una rete di n lati, e perciò con n correnti incognite, essi
consentono infatti di impostare un sistema di n equazioni indipendenti,
la cui soluzione determina i valori di tutte le incognite.
allatto pratico si procede nel modo seguente. In primo luogo, si
fissano sullo schema della rete i versi probabili delle correnti nei singoli
lati; Se non si può vedere a priori quali saranno i versi effettivi
delle correnti, si assegnano a queste dei versi arbitrari.
Con riferimento ai versi così prefissati si applica il primo principio
di Kirchhoff al maggior numero di nodi possibile che possano fornire altrettante
equazioni indipendenti fra loro: in generale se i nodi sono n, si possono
ottenere in tal modo n - 1 equazioni, perché lequazione relativa
al nodo rimanente è sempre una combinazione di alcune fra le equazioni
degli altri nodi.
Dopo di ciò si completa il sistema, fino a ottenere tante equazioni
quanti sono i lati della rete, applicando il secondo principio di Kirchhoff,
ad un sufficiente numero di maglie diverse.
Se i lati della rete sono L, si dovranno considerare a tal fine L - (n
-1) maglie. Queste maglie possono essere scelte ad arbitrio, purché
siano tali da fornire altrettante equazioni indipendenti fra loro. In
parole povere vuol dire che bisogna escludere quelle maglie che hanno
per equazione una combinazione per somma o differenza delle equazioni
di due o più maglie già considerate in precedenza. Il concetto
è che ogni equazione deve rappresentare una informazione nuova
e non riproporre relazioni già indicate da altre equazioni presenti
nel sistema.
Risolvendo il sistema di L equazioni lineari così ottenuto, restano
allora determinate tutte le L correnti incognite. Se per alcune di queste
correnti si ottiene una soluzione negativa, vorrà dire che il loro
verso effettivo, nei rispettivi lati, è opposto a quello che era
stato fissato in precedenza per scrivere le equazioni dei sistema. Da
questo discende la dimostrazione che il senso delle correnti può
essere scelto arbitrariamente essendo solo una convenzione valida per
lo studio della rete ma priva di significato in sé. Calcolate le
correnti di lato si possono calcolare facilmente le relative tensioni
di lato.
Occorre anche osservare che le incognite del problema potranno essere
anziché le correnti le tensioni o le resistenze dei lati, o eventualmente
le correnti di alcuni lati e le resistenze di altri. Oppure ancore le
tensioni che devono operare su alcuni lati della rete perché su
altri vi siano certe determinate correnti. In ogni caso però la
soluzione deve dipendere dai principi di Kirchoff e il numero delle incognite
deve essere uguale al numero di lati della rete.